Fenomena Kunikan Alam: Matematika

Home / Matematika

Tampilkan postingan dengan label Matematika. Tampilkan semua postingan

Selasa, 12 Agustus 2014

Rumus Matematika untuk Kebahagiaan

Filsuf dan penulis telah menumpahkan tinta yang tak terhitung jumlahnya untuk mencoba menjelaskan asal-usul kebahagiaan. Apa itu kebahagiaan? Bagaimana kita mencapainya? Apakah kita benar-benar tahu kita sedang bahagia? Ini adalah pertanyaan rumit. Namun saat ini para peneliti dari University College London, merumuskan sebuah Rumus atau Persamaan Matematika mengenai kebahagiaan:

Happiness = baseline average mood + what you can settle for (CR) + what you'll get on average if you gamble (EV) + the difference between that and what you actually get (RPE). The recurring ∑-function weights each factor in turn by its recent history

Paham?

Ya, Anda sedang melihat persamaan matematika untuk memprediksi kebahagiaan. Tapi sebelum Anda membatalkan perjalanan Anda ke tempat-tempat yang anda pikir akan membuat anda bahagia, anda harus tahu bahwa persamaan ini tidak menjelaskan kepuasan Anda dengan kehidupan; melainkan dapat memprediksi bagaimana tingkat kebahagiaan berfluktuasi ketika kita menang atau kalah dalam sebuah permainan sederhana. Menggunakan rumus ini, peneliti menemukan bahwa kebahagiaan sesaat kita cenderung lebih besar, bukan ketika semuanya berjalan lancar, tapi ketika sesuatu itu ternyata lebih baik dari yang diharapkan.

"Kebahagiaan merefleksikan bukan tentang keadaan berjalan baik. Namun bilamana situasi lebih baik daripada yang diharapkan, itu adalah kebahagiaan."

Kebahagiaan: Semudah '1,2,3'
Untuk membangun rumus diatas, para peneliti mengawalinya dengan menguji 26 orang relawan yang setuju untuk bermain judi di dalam mesin fMRI. Subyek bermain judi dengan berbagai tingkatan risiko, yang akan mengakibatkan keuntungan atau kerugian. Setiap beberapa putaran, peserta dinilai tingkat kebahagiaan mereka pada skala 0-10, dan ini berhubungan dengan aktivitas otak mereka saat itu.

Para peneliti menemukan bahwa 'harapan' memainkan peran penting dalam menentukan kebahagiaan sesaat kita. Sebagai contoh, ketika peserta dalam penelitian ini memainkan permainan dan memenangkan $ 0 bukan $ 2, tingkat kebahagiaan mereka rendah, sebagaimana tercatat oleh alat pemindai otak. Namun, jika mereka memenangkan $ 0 bukan kehilangan $ 2, mereka jauh lebih bahagia - meskipun memenangkan jumlah uang yang sama. Para peneliti menyamakannya dengan contoh nyata lain: kita akan lebih bahagia dengan penundaan penerbangan 1 jam jika kita awalnya diberitahu ada kemungkinan 50 persen penundaan akan berlangsung 6 jam, dibandingkan jika tidak ada pemberitahuan sama sekali.

Jadi, para penulis menyimpulkan, kebahagiaan bukan tentang hasil nyata (tangible outcome) - kebahagian akan muncul bila sesuatu itu melebihi harapan.

Setelah peneliti membangun rumus kebahagiaan mereka, mereka mengujinya pada 18.000 orang yang memainkan permainan yang sama melalui aplikasi telepon pintar yang disebut "What makes me happy?". Benar saja, rumus diatas akurat memprediksi fluktuasi kebahagiaan tiap-tiap pemenang dan yang kalah. Tim peneliti menerbitkan temuan mereka pekan ini di Proceedings of the National Academies of Science.

Namun, meskipun menurunkan harapan meningkatkan kemungkinan kebahagiaan, peneliti menekankan bahwa mengharapkan yang terburuk, secara umum, bukanlah sebuah pendekatan yang baik. Dengan outlook negatif, anda akan menderita sampai sesuatu yang lebih baik datang. Namun dalam upaya sosial, seperti politik, para peneliti mengatakan pendekatan menurunkan harapan dapat meningkatkan kepuasan masyarakat dengan hasilnya.

Selasa, 24 Juni 2014

Matematika

Hukum Misterius yang Memprediksi Ukuran Megacity di Seluruh Dunia

unknown 06.29 Komentar

Untuk abad yang lalu, sebuah prinsip matematika yang disebut Hukum Zipf telah memperkirakan ukuran mega-city di seluruh dunia dengan benar. Dan tidak ada yang tahu mengapa hukum zipf berlaku.

Pada tahun 1949, ahli bahasa Amerika George Kingsley Zipf melihat sesuatu yang aneh tentang seberapa sering orang menggunakan kata-kata dalam beberapa bahasa. Saat dia membuat peringkat kata-kata dalam urutan popularitas, pola yang mencolok pun muncul. Kata peringkat satu selalu digunakan dua kali lebih sering dari kata peringkat kedua, dan tiga kali lebih sering dari kata peringkat ketiga. Dia kemudian menyebut aturan ini sebagai aturan peringkat vs frekuensi, dan menemukan bahwa aturan ini juga dapat digunakan untuk menggambarkan distribusi pendapatan di beberapa negara, dimana orang terkaya menghasilkan uang dua kali lebih banyak dari orang terkaya peringkat dua, dan seterusnya.

Aturan ini kemudian dijuluki hukum Zipf, yang juga berlaku jika diterapkan pada ukuran kota. Kota dengan penduduk terbesar di negara manapun umumnya dua kali lebih besar dari kota terbesar peringkat kedua, dan seterusnya. Luar biasanya, hukum Zipf untuk kota-kota telah terbukti berlaku dan benar untuk setiap negara di dunia, dalam satu abad terakhir ini.

Kita bisa melihat pada daftar peringkat kota di Amerika Serikat berdasarkan penduduknya. Pada sensus 2010, kota terbesar di Amerika Serikat, New York, memiliki populasi 8.175.133. Los Angeles, peringkat nomor 2, memiliki populasi 3.792.621. Dan kota-kota di tiga peringkat berikutnya, Chicago, Houston dan Philadelphia, masing-masing jumlah penduduknya adalah 2695598, 2100263 dan 1526006. Anda dapat melihat bahwa, secara statistik, mereka sangat konsisten dengan prediksi Zipf.

Paul Krugman, yang menulis tentang penerapan hukum Zipf untuk kota pada tahun 2006, mengatakan ucapannya yang terkenal:

"The usual complaint about economic theory is that our models are oversimplified — that they offer excessively neat views of complex, messy reality. [With Zipf's law] the reverse is true: we have complex, messy models, yet reality is startlingly neat and simple".

Hukum Pangkat (Power Law)
Pada tahun 1999, ekonom Xavier Gabaix menulis sebuah makalah yang banyak dikutip di mana ia menggambarkan hukum Zipf untuk kota sebagai hukum pangkat, dan menunjukkan bagaimana ukuran kota di AS dapat dipetakan pada grafik, seperti dibawah ini:

Gabaix mencatat bahwa struktur ini berlaku bahkan juga pada kota yang laju pertumbuhannya chaotik. Tapi dia dan ekonom lainnya juga menyadari bahwa struktur hukum pangkat ini cenderung untuk tidak berlaku setelah kita tidak lagi memasukkan atau memperhitungkan kota-kota pada peringkat atas (Megacities). Kota-kota kecil, di bawah ukuran 100 ribu orang, tampaknya mematuhi hukum yang berbeda dan menunjukkan distribusi ukuran yang lebih normal.

Pada titik ini, Anda mungkin bertanya: Bagaimana tepatnya definisi sebuah kota? Ketika Anda melakukan perhitungan semacam ini, tampaknya dengan sewenang-wenang kita mengatakan bahwa Boston dan Cambridge dihitung sebagai dua kota, atau San Francisco dan Oakland adalah entitas yang terpisah, hanya karena mereka dipisahkan oleh badan air. Dua ahli geografi Swedia memiliki pertanyaan yang sama persis, jadi mereka mendefinisikan ulang sekelompok daerah sebagai "kota alami," didasarkan pada konektivitas jalan dan populasi daripada batas-batas politik. Dan apa yang mereka temukan adalah bahwa, bahkan "kota alami" ini tetap taat pada hukum Zipf!.

Mengapa Hukum Zipf berlaku pada Kota-Kota Besar?
Jadi ada apa dengan kota-kota besar sehingga mereka menunjukkan distribusi populasi yang begitu mudah diprediksi? Seperti yang telah disebutkan diatas sebelumnya, tidak ada yang benar-benar tahu jawaban tepatnya. Kita hanya tahu bahwa ukuran kota meluas melalui imigrasi, dan bahwa imigran cenderung berdatangan ke kota yang lebih besar karena mereka menawarkan lebih banyak kesempatan. Tapi imigrasi tidak cukup untuk menjelaskan hukum pangkat yang menghasilkan kemiringan sempurna dalam grafik Gabaix di atas.

Alasannya yang juga jelas lainnya adalah ekonomi, karena di kota-kota besar cenderung menghasilkan kekayaan yang lebih atau orang kaya yang lebih banyak. Dan hukum Zipf juga berlaku untuk distribusi pendapatan. Tapi sekali lagi, itu semua tetap belum menjawab mengapa hukum pangkat ini muncul pada kota-kota besar.

Ada juga pengecualian hukum Zipf, seperti yang dilaporkan oleh sekelompok peneliti yang dalam Nature tahun lalu. Mereka menemukan bahwa hukum pangkat hanya berlaku jika kelompok kota terintegrasi secara ekonomi, yang akan menjelaskan mengapa hukum Zipf akan berlaku jika Anda melihat kota-kota di negara Eropa, tetapi tidak berlaku jika kita melihat Uni Eropa secara keseluruhan. Mereka menulis:

Bahkan, secara historis, tingkat geografis untuk Eropa, di mana evolusi terintegrasi diamati, adalah negara nasional, sementara di AS, adalah seluruh konfederasi, bukan per negara bagian, telah secara kolektif dan organik berevolusi menuju distribusi kota-kota yang dimana Hukum Zipf berlaku. Dari perspektif ini, AS adalah, federasi ekonomi organik terpadu, sedangkan Uni Eropa belum menjadi seperti itu, dan menunjukkan sedikit konvergensi ke unit ekonomi seperti . . .dst. Ini menyiratkan bahwa setiap sistem yang mematuhi hukum ini harus memiliki konsistensi internal dalam distribusi ukuran atau sampelnya.

Hal ini tampaknya akan mendukung gagasan bahwa hukum Zipf adalah respon terhadap kondisi ekonomi, karena hanya akan berlaku jika kita membandingkan kota yang terhubung secara ekonomis sebagaimana kota-kota di suatu negara terhubung.

Bagaimana Kota Tumbuh
Ada aturan aneh lain yang berlaku juga untuk kota-kota. Anda bisa menyebutnya sebagai hukum pangkat 3/4 dan ini berlaku pada cara kota menggunakan sumber daya saat mereka tumbuh. Hal ini mengacu pada cara kota menjadi lebih berkelanjutan saat mereka tumbuh. Sebagai contoh, jika sebuah kota menjadi dua kali lipat dalam ukuran, jumlah SPBU yang dibutuhkan tidak dua kali lipat. Sebaliknya, kota berjalan efisien dengan pompa bensin yang hanya sekitar 77%. Sementara hukum Zipf tampaknya mengikuti hukum-hukum sosial lain, hukum pangkat 3/4 lebih mirip salah satu hukum alam - yang mengatur bagaimana hewan-hewan menggunakan energi saat mereka lebih besar.

Matematikawan Steven Strogatz mengatakan:

Misalnya, Anda mengukur berapa banyak kalori yang dibakar tikus per hari, dibandingkan dengan gajah. Keduanya adalah mamalia, sehingga pada tingkat sel yang Anda harapkan mereka tidak boleh terlalu berbeda. Dan memang, ketika sel-sel dari 10 spesies mamalia yang berbeda tumbuh di luar organisme mereka, dalam kultur jaringan laboratorium, mereka semua menampilkan tingkat metabolisme yang sama. Seolah-olah mereka tidak tahu dari mana mereka berasal; mereka tidak memiliki memori genetik seberapa besar donor mereka.

Tapi jika dilihat gajah atau tikus sebagai binatang utuh, atau aglomerasi dari miliaran sel, maka, pada basis pon per pon, sel-sel gajah mengkonsumsi energi jauh lebih sedikit dibandingkan sel-sel tikus. Hukum yang relevan untuk metabolisme, yang disebut Hukum Kleiber, menyatakan bahwa kebutuhan metabolisme mamalia tumbuh, sebanding dengan berat tubuhnya pangkat 0,74.

pangkat 0.74 ini memang sangat dekat dekat dengan pangkat 0.77 yang teramati dalam hukum yang berlaku pada pompa bensin di kota-kota. Apakah ini sbuah kebetulan? Mungkin, tapi mungkin juga tidak. Ada alasan teoritis untuk mengharapkan pangkat yang dekat dengan pangkat 3/4. Geoffrey West dari Santa Fe Institute dan rekan-rekannya Jim Brown dan Brian Enquist berpendapat bahwa hukum pangkat 3/4 adalah apa yang akan kita dapatkan jika seleksi alam telah mengembangkan sistem transportasi untuk menyampaikan energi dan nutrisi seefisien dan secepat yang memungkinkan untuk semua titik dalam tubuh tiga dimensi, dengan menggunakan jaringan fraktal yang dibangun dari serangkaian percabangan - lebih tepatnya, arsitektur yang terlihat dalam sistem peredaran darah dan saluran udara paru-paru, tidak terlalu berbeda dari jalan-jalan dan kabel-kabel serta pipa-pipa yang menjaga kota tetap hidup.

Hal ini tentu sangat menarik, tapi akhirnya kurang misterius dibandingkan hukum Zipf, karena tidak sulit untuk memahami mengapa kota - yang pada dasarnya adalah sebuah ekosistem, meskipun dibangun oleh manusia - harus mengikuti hukum alam. Tetapi hukum Zipf adalah sesuatu yang tampaknya tidak memiliki analog alami. Ini sosial, dan seperti yang telah disebutkan diatas sebelumnya, hanya berlaku untuk kota-kota selama 100 tahun terakhir.

Yang kita tahu adalah bahwa hukum Zipf itu berlaku untuk banyak sistem sosial lainnya, termasuk ekonomi dan linguistik. Jadi mungkin saja ada aturan/hukum sosial yang lebih umum yang memunculkan hukum peringkat vs ukuran yang aneh ini, yang suatu hari nanti mungkin dapat kita pahami dengan lebih baik. Siapa pun yang bisa memecahkan teka-teki ini mungkin akan menemukan kunci untuk memprediksi lebih banyak hal dari sekedar pertumbuhan perkotaan. Hukum Zipf mungkin hanya salah satu aspek dari aturan dasar dinamika sosial yang menunjukkan bagaimana kita berkomunikasi, berdagang, dan membentuk komunitas satu sama lain.

Baca selengkapnya

Rabu, 18 Juni 2014

Matematika

Piala Dunia dan Paradoks Ulang Tahun

unknown 09.14 Komentar

Jika dalam sebuah kelompok ada 23 orang, maka ada 50% kemungkinan bahwa dua orang diantaranya memiliki ulang tahun yang sama. Mungkin ini terasa aneh bagi anda, tetapi ini memang benar! Dapat dibuktikan dengan melihat daftar team dan pemain di Piala Dunia 2014 di Brasil kali ini

Bayangkan adegan di sebuah hotel dimana tim sepak bola Brasil menginap. Hulk dan Paulinho yang sedang bersantai setelah kemenangan timnya terlibat dalam sebuah obrolan.

"Pada Piala Dunia kali ini mungkin saya akan merayakan dua pesta besar berturut-turut," kata Hulk, percaya diri, "Pertama adalah pesta kemenangan Brazil di Piala Dunia, jika Brazil menang dan kedua adalah ulang tahun saya beberapa minggu kemudian."

"Ulang tahun mu bulan Juli?" tanya Paulinho. "Aku juga 25 Juli, kamu tanggal berapa?

"Hei, mosok ulang tahun kita sama!" seru Hulk dengan terkejut. "Ajaib! karena peluangnya tentu cukup kecil?"

Dengan 365 hari dalam satu tahun, jawaban intuitif dari kebanyakan orang mungkin akan seperti Hulk, yaitu: "Peluangnya Cukup Kecil."

Tapi dalam kasus ini intuisi kita yang salah - maka kasus ini dikenal dengan nama Paradoks Ulang Tahun.

Hulk (kiri) dan Paulinho (kanan)

Paradoks ulang tahun sebenarnya bukanlah paradoks logis, tidak ada kontradiksi-diri tentang hal itu, dan sebenarnya hanya tak terduga.

Dalam sebuah kelas yang berisi 30 murid, maka orang-orang berpikir bahwa adalah sebuah kebetulan yang luar biasa jika dua orang di kelas itu memiliki ulang tahun yang sama (tanggal dan bulan), padahal sebenarnya, dengan 30 orang, maka peluang 2 orang memiliki ulang tahun yang sama adalah 70%!

Atau perhatikan akun situs media sosial favorit Anda. Jika Anda punya 70 teman, maka peluang Anda memiliki setidaknya dua teman yang berulang tahun sama adalah 99,9%. Ya, hampir pasti diantara 70 teman anda ada yang berulang tahun sama.

Tapi mungkin bukti yang paling aktual adalah Piala Dunia sepak bola. Ada 32 tim, dan setiap tim memiliki 23 pemain. Jika paradoks ulang tahun benar, maka ada peluang 50% bagi tiap tim untuk memiliki pemain yang berulang tahun sama.

Menurut daftar skuad resmi dari FIFA ternyata memang ada 16 tim dengan setidaknya satu pasang pemainnya memiliki ulang tahun yang sama, dan 16 adalah 50% dari total tim. Bahkan dari 16 tim tersebut ada lima tim yang memiliki dua pasang ulang tahun yang sama.

Dari daftar FIFA, tim-tim yang pemainnya memilikiberbagi ulang tahun yang sama adalah: Spanyol, Kolombia, Swiss (2 pasang), Amerika Serikat, Iran (2 pasang), Prancis (2 pasang), Argentina (2 pasang), Korea Selatan (2 pasang), Kamerun, Australia, Bosnia Herzegovina, Rusia, Belanda, Brazil, Honduras dan Nigeria.

Fernando Gago (kiri) dan Augusto Fernandez

Salah satu pasangan Argentina, Fernando Gago dan Augusto Fernandez, ulang tahunnya persis sama sampai ke tahunnya yaitu 10 April 1986. Beberapa pasangan benar-benar akan merayakan ulang tahun mereka saat kompetisi berlangsung.

Dan yang paling menarik adalah jika Jerman menjadi juara grup G dan Aljazair menjadi runner up grup H, maka kedua tim akan saling berhadapan pada babak perdelapan final pada tanggal 30 Juni. Jika itu terjadi maka dalam pertandingan tersebut akan berhadapan 2 orang yang memiliki ulang tahun yang 4 tahun sekali, yaitu Benedikt Howedes di tim Jerman dan Saphir Taider di tim Aljazair. Keduanya berulang tahun pada tanggal 29 Februari.

Benedikt Howedes (kiri) dan Saphir Taider

Mungkin saat ini anda akan bertanya, Apakah contoh piala dunia 2014 itu hanya suatu kebetulan? kan secara statistik, ukuran sampelnya terlalu kecil untuk menunjukkan titik yang meyakinkan?

Kita bisa mengetahuinya dengan menambahkan daftar para pemain dari tim-tim Piala Dunia 2010. yang akan menghasilkan 15 ulang tahun bersama, yang ada dalam 31 tim dari total 64 tim selama dua Piala Dunia - masih cukup dekat dengan 50%.

Hasil ini memberikan kita cukup banyak akan apa yang bisa anda harapkan jika ulang tahun terdistribusi secara acak, tapi ada penjelasan matematis yang tak terbantahkan mengenai kasus ulang tahun ini.

PENJELASAN
Berikut penjelasan sederhana dari matematika di balik paradoks ulang tahun. Versi yang lebih elegan dan canggih dapat ditemukan di internet.

Bayangkan Anda berjalan ke sebuah ruangan berisi 22 orang, dan tidak ada satupun yang memiliki ulang tahun yang sama. Peluang Anda akan memiliki ulang tahun yang unik akan anda rasa cukup tinggi - hanya ada 22 hari diambil oleh orang lain, dan 343 hari lainnya masih "free", sehingga Anda merasa bahwa sangat kecil kemungkinan dari 22 orang tersebut ada yang memiliki ulang tahun sama dengan anda.

Ini mungkin salah satu alasan mengapa paradoks ulang tahun terasa kontra-intuitif. Kita cenderung untuk melihat masalah seperti ini dari perspektif pribadi kita sendiri, dan kemudian menggeneralisasinya sehingga peluang setiap individu berbagi ulang tahun yang sama juga kita rasakan cukup kecil.

Tapi mari kita bekerja dengan melihat kemungkinan bahwa setiap orang dalam kelompok yang terdiri dari 23 memiliki ulang tahun yang unik atau tidak sama.

Untuk orang pertama, peluangnya tentu adalah 100% atau 365/365, karena setiap tanggal jelas belum terisi. Untuk orang kedua, ada satu hari yang telah dipakai oleh orang pertama, sehingga yang belum dipakai adalah 364 hari, sehingga peluangnya untuk memiliki ulang tahun yang unik adalah 364/365. Untuk orang ketiga peluangnya menjadi 363/365, dan seterusnya sampai orang ke 23, yang peluangnya memiliki ulang tahun yang unik adalah 343/365.

Untuk menemukan kemungkinan setiap orang dalam kelompok memiliki ulang tahun yang unik, maka kita kalikan semua (23) probabilitas diatas bersama-sama, dan kita dapatkan probabilitasnya adalah:

(1 × 364/365 × 363/365 × 362/365 × ... × 296/365) = 0,491

Hasil ini adalah probabilitas dari 23 orang untuk memiliki ulang tahun yang masing-masing berbeda atau unik.

Oleh karena itu, peluang atau probabilitas dari 23 orang ada yang memiliki ulang tahun yang sama adalah 1 - 0,491 = 0,509, atau 50,9%. (Ingat bahwa peluang peristiwa untuk terjadi ditambah peluang untuk tidak terjadi adalah 1)

Sedangkan probabilitas dari 30 orang untuk memiliki ulang tahun yang sama adalah:

1 - (1 × 364/365 × 363/365 × 362/365 × ... × 296/365) = 1 - 0.294... = 0.706.. atau sama dengan 70,6%

Ingat bahwa probabilitas diatas adalah probabilitas dari minimal 2 orang dalam suatu kelompok memiliki ulang tahun yang sama. Nah, sekarang bagaimana dengan kemungkinan bahwa Anda akan berbagi ulang tahun yang sama dengan setidaknya satu orang lain dalam sebuah kelompok? Berapa jumlah orang dalam kelompok tersebut agar peluangnya 50%?

Perhitungannya AMJG serahkan kepada pembaca. Yang jelas jika Anda memiliki akun facebook, maka saat anda memiliki teman sebanyak 253 orang, peluang salah satu teman anda berulang tahun sama dengan anda adalah 50%.