Piala Dunia dan Paradoks Ulang Tahun

Matematika

Jika dalam sebuah kelompok ada 23 orang, maka ada 50% kemungkinan bahwa dua orang diantaranya memiliki ulang tahun yang sama. Mungkin ini terasa aneh bagi anda, tetapi ini memang benar! Dapat dibuktikan dengan melihat daftar team dan pemain di Piala Dunia 2014 di Brasil kali ini

Bayangkan adegan di sebuah hotel dimana tim sepak bola Brasil menginap. Hulk dan Paulinho yang sedang bersantai setelah kemenangan timnya terlibat dalam sebuah obrolan.

"Pada Piala Dunia kali ini mungkin saya akan merayakan dua pesta besar berturut-turut," kata Hulk, percaya diri, "Pertama adalah pesta kemenangan Brazil di Piala Dunia, jika Brazil menang dan kedua adalah ulang tahun saya beberapa minggu kemudian."

"Ulang tahun mu bulan Juli?" tanya Paulinho. "Aku juga 25 Juli, kamu tanggal berapa?

"Hei, mosok ulang tahun kita sama!" seru Hulk dengan terkejut. "Ajaib! karena peluangnya tentu cukup kecil?"

Dengan 365 hari dalam satu tahun, jawaban intuitif dari kebanyakan orang mungkin akan seperti Hulk, yaitu: "Peluangnya Cukup Kecil."

Tapi dalam kasus ini intuisi kita yang salah - maka kasus ini dikenal dengan nama Paradoks Ulang Tahun.

Hulk (kiri) dan Paulinho (kanan)

Paradoks ulang tahun sebenarnya bukanlah paradoks logis, tidak ada kontradiksi-diri tentang hal itu, dan sebenarnya hanya tak terduga.

Dalam sebuah kelas yang berisi 30 murid, maka orang-orang berpikir bahwa adalah sebuah kebetulan yang luar biasa jika dua orang di kelas itu memiliki ulang tahun yang sama (tanggal dan bulan), padahal sebenarnya, dengan 30 orang, maka peluang 2 orang memiliki ulang tahun yang sama adalah 70%!

Atau perhatikan akun situs media sosial favorit Anda. Jika Anda punya 70 teman, maka peluang Anda memiliki setidaknya dua teman yang berulang tahun sama adalah 99,9%. Ya, hampir pasti diantara 70 teman anda ada yang berulang tahun sama.

Tapi mungkin bukti yang paling aktual adalah Piala Dunia sepak bola. Ada 32 tim, dan setiap tim memiliki 23 pemain. Jika paradoks ulang tahun benar, maka ada peluang 50% bagi tiap tim untuk memiliki pemain yang berulang tahun sama.

Menurut daftar skuad resmi dari FIFA ternyata memang ada 16 tim dengan setidaknya satu pasang pemainnya memiliki ulang tahun yang sama, dan 16 adalah 50% dari total tim. Bahkan dari 16 tim tersebut ada lima tim yang memiliki dua pasang ulang tahun yang sama.

Dari daftar FIFA, tim-tim yang pemainnya memilikiberbagi ulang tahun yang sama adalah: Spanyol, Kolombia, Swiss (2 pasang), Amerika Serikat, Iran (2 pasang), Prancis (2 pasang), Argentina (2 pasang), Korea Selatan (2 pasang), Kamerun, Australia, Bosnia Herzegovina, Rusia, Belanda, Brazil, Honduras dan Nigeria.

Fernando Gago (kiri) dan Augusto Fernandez

Salah satu pasangan Argentina, Fernando Gago dan Augusto Fernandez, ulang tahunnya persis sama sampai ke tahunnya yaitu 10 April 1986. Beberapa pasangan benar-benar akan merayakan ulang tahun mereka saat kompetisi berlangsung.

Dan yang paling menarik adalah jika Jerman menjadi juara grup G dan Aljazair menjadi runner up grup H, maka kedua tim akan saling berhadapan pada babak perdelapan final pada tanggal 30 Juni. Jika itu terjadi maka dalam pertandingan tersebut akan berhadapan 2 orang yang memiliki ulang tahun yang 4 tahun sekali, yaitu Benedikt Howedes di tim Jerman dan Saphir Taider di tim Aljazair. Keduanya berulang tahun pada tanggal 29 Februari.

Benedikt Howedes (kiri) dan Saphir Taider

Mungkin saat ini anda akan bertanya, Apakah contoh piala dunia 2014 itu hanya suatu kebetulan? kan secara statistik, ukuran sampelnya terlalu kecil untuk menunjukkan titik yang meyakinkan?

Kita bisa mengetahuinya dengan menambahkan daftar para pemain dari tim-tim Piala Dunia 2010. yang akan menghasilkan 15 ulang tahun bersama, yang ada dalam 31 tim dari total 64 tim selama dua Piala Dunia - masih cukup dekat dengan 50%.

Hasil ini memberikan kita cukup banyak akan apa yang bisa anda harapkan jika ulang tahun terdistribusi secara acak, tapi ada penjelasan matematis yang tak terbantahkan mengenai kasus ulang tahun ini.

PENJELASAN
Berikut penjelasan sederhana dari matematika di balik paradoks ulang tahun. Versi yang lebih elegan dan canggih dapat ditemukan di internet.

Bayangkan Anda berjalan ke sebuah ruangan berisi 22 orang, dan tidak ada satupun yang memiliki ulang tahun yang sama. Peluang Anda akan memiliki ulang tahun yang unik akan anda rasa cukup tinggi - hanya ada 22 hari diambil oleh orang lain, dan 343 hari lainnya masih "free", sehingga Anda merasa bahwa sangat kecil kemungkinan dari 22 orang tersebut ada yang memiliki ulang tahun sama dengan anda.

Ini mungkin salah satu alasan mengapa paradoks ulang tahun terasa kontra-intuitif. Kita cenderung untuk melihat masalah seperti ini dari perspektif pribadi kita sendiri, dan kemudian menggeneralisasinya sehingga peluang setiap individu berbagi ulang tahun yang sama juga kita rasakan cukup kecil.

Tapi mari kita bekerja dengan melihat kemungkinan bahwa setiap orang dalam kelompok yang terdiri dari 23 memiliki ulang tahun yang unik atau tidak sama.

Untuk orang pertama, peluangnya tentu adalah 100% atau 365/365, karena setiap tanggal jelas belum terisi. Untuk orang kedua, ada satu hari yang telah dipakai oleh orang pertama, sehingga yang belum dipakai adalah 364 hari, sehingga peluangnya untuk memiliki ulang tahun yang unik adalah 364/365. Untuk orang ketiga peluangnya menjadi 363/365, dan seterusnya sampai orang ke 23, yang peluangnya memiliki ulang tahun yang unik adalah 343/365.

Untuk menemukan kemungkinan setiap orang dalam kelompok memiliki ulang tahun yang unik, maka kita kalikan semua (23) probabilitas diatas bersama-sama, dan kita dapatkan probabilitasnya adalah:

(1 × 364/365 × 363/365 × 362/365 × ... × 296/365) = 0,491

Hasil ini adalah probabilitas dari 23 orang untuk memiliki ulang tahun yang masing-masing berbeda atau unik.

Oleh karena itu, peluang atau probabilitas dari 23 orang ada yang memiliki ulang tahun yang sama adalah 1 - 0,491 = 0,509, atau 50,9%. (Ingat bahwa peluang peristiwa untuk terjadi ditambah peluang untuk tidak terjadi adalah 1)

Sedangkan probabilitas dari 30 orang untuk memiliki ulang tahun yang sama adalah:

1 - (1 × 364/365 × 363/365 × 362/365 × ... × 296/365) = 1 - 0.294... = 0.706.. atau sama dengan 70,6%

Ingat bahwa probabilitas diatas adalah probabilitas dari minimal 2 orang dalam suatu kelompok memiliki ulang tahun yang sama. Nah, sekarang bagaimana dengan kemungkinan bahwa Anda akan berbagi ulang tahun yang sama dengan setidaknya satu orang lain dalam sebuah kelompok? Berapa jumlah orang dalam kelompok tersebut agar peluangnya 50%?

Perhitungannya AMJG serahkan kepada pembaca. Yang jelas jika Anda memiliki akun facebook, maka saat anda memiliki teman sebanyak 253 orang, peluang salah satu teman anda berulang tahun sama dengan anda adalah 50%.